手残党瞩目：你们用空杯子就好，以免灌自己一脖子水。
实际上你的手和咖啡杯的旋转在拓扑学中称为旋转群SO（3）；完全回到原状就等于在SO（3）里画出了一个环。拓扑学中，SO（3）的基本群是“Z/2”——这意味着，你要让咖啡杯复原两次，才能让你的整个胳膊复原一次。
定理5：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置】
也就是说，如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。
1912年，荷兰数学家布劳威尔证明了这么一个定理：假设D是某个圆盘中的点集，f是一个从D到它自身的连续函数，则一定有一个点x，使得f(x)=x。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwerfixedpointtheorem）。
除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理，纸团上一定存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。
这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同（虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方）。
还有耳机线……
为什么耳机线总是绕成团？——没错！都怪拓扑学！！
每次从包里掏出耳机打算听音乐的时候，都会发现：
不管事先把耳机线缠得多整齐，它永远都会在包里扭成一团乱麻。
近年来，物理学家和数学家们一直在思考为什么电线会这么不听话。通过实验，他们发现对于电线打结有好多种有趣的解答。2007年，来自加州大学圣地亚哥分校的研究者们将几段绳子放在盒子里，然后反复颠倒，试图用这种方法解释耳机线在你的背包里晃荡时打结的原因。
研究结果表明，随机运动最后似乎总是会导致打结。
长而柔软的绳子在自然状态下会自发形成许多不同的构型：或许是一条整整齐齐的直线，或许是绳子的一端弯曲并与中段交叉。而在实际情况下，后一种情况占了大多数：绳子总是倾向于自我缠绕，最终结成一团。在这些随机的构型中，基本没有不成团的，所以这些绳子最后基本都会变成一团乱麻。一旦打结，从能量上来说就不太可能自动解开了。因此，绳子的结只会越来越多。
绳子打结可不是一个简单的问题，数学家们为此还开创了一个拓扑学的分支学科，叫做纽结理论（knottheory），用来研究纽结的数学特性。
纽结的数学定义是处在三维空间里的任何简单封闭曲线。利用这个定义，数学家们把纽结分成了几类：例如最简单的三叶结，绳子与自身只交叉3次；类似地，还有绳子与自身交叉4次形成的结，也就是八字结。数学家们已经找到了一组称为琼斯多项式（Jonespolynomials）的数字公式来定义每种纽结。然而，在很长的一段时间内，纽结理论都被认为是一种有些高深莫测的数学分支。
2007年，物理学家道格拉斯?史密斯（DouglasSmith）和他当时的本科生道林?雷默（DorianRaymer）决定用真正的绳子亲手验证一下纽结理论的可行性。在实验中，他们把一条绳子放入盒子中，然后翻转盒子10秒。随后，雷默又改变绳子的长度、硬度、盒子大小、翻转速度等参数，进行了约3000次重复实验。
结果显示，在大约50%的概率下，绳子会打一个结。而影响这一结果的主要因素之一是绳子的长度：长度小于1.5英尺（约46厘米）的绳子打结的情况较少；而随着长度增加，打结的几率也增大。然而这也有上限，当绳子的长度达到5英尺（约152厘米）时，它就会充斥整个盒子，在超过50%的情况下都不会打结。
雷默和史密斯还利用数学家们发明的琼斯多项式将他们观察到的纽结进行了分类。在每次翻转之后，他们会拍下一张绳子的照片并把图像数据输入到一个电脑算法中对纽结进行分类。根据纽结理论，共有14种基本的纽结，它们都包含不多于7个交叉。雷默和史密斯在实验过程中观察到了全部14种纽结，并且还发现了更复杂的纽结，其中的一些带有多达11个交叉。
研究者们最终建立了一个模型来解释他们的观察结果。总的来说，为了把绳子放进盒子里，就必须把绳子盘绕起来。此时绳子末端就会与绳子的某些节段平行。当盒子翻转时，绳子末端就有可能落到平行节段的中间而形成交叉。经过多次交叉后，绳子末端基本上就会缠绕在绳子的某个节段上，从而形成不同的纽结。
其实看了半天我们最想知道的还是到底有没有办法能让电线不打结呢？研究者们在实验中观察到，如果使用较硬的绳子，打结的几率就会减小。可能这就是为什么苹果公司将最近几代笔记本电脑的电源线都选用了较硬的材料。这也解释了为什么又细又长的圣诞树彩灯总是一团糟，而又短又粗的接线板电线却总能平平整整。
另外，较小的容器也能防止打结。实验发现，较长的绳子在较小的盒子中时，由于绳子有一种展开的趋势，所以它会紧贴盒子内壁，从而在盒子翻转时绳子末端不会掉到绳子中段缠绕起来。这是科学家们提出的脐带打结发生几率较低（约1%）的原因：子宫内的空间紧凑，不足以让脐带打结。
最后，盒子翻转速度较高可以减少绳子打结几率。因为离心力的存在，绳子会紧贴盒子内壁，根本没有打结的可能。然而，这种方法似乎无法用于解决耳机线在包里打结的难题。也许你可以用翻筋斗的方式来行动，或者是买一些带有小口袋的衣服——我觉得应该还是后者比较现实吧。(未完待续。)